#39 Derzeitige Arbeit über Gott und abstrakte Objekte

Prof. Craigs Antwort

---

A

Wow, ich beeindruckt, wie gut Sie mit den wenigen Dingen vertraut sind, die ich zu diesem Thema geschrieben habe! Bevor ich Ihre Frage beantworte, möchte ich die übrigen Leser, die mit dieser Debatte nicht so vertraut sind wie Sie, auch einweihen.

Ein geeigneter Anfang wäre, dass wir uns die Frage stellen: „Existiert die Zahl 3?“ Gewiss können z. B. auf dem Tisch drei Äpfel sein; doch existiert die 3 zusätzlich zu den Äpfeln? Die Frage ist nicht, ob die Ziffer „3“ existiert (das Symbol, das man von den Arabern übernommen hat, um die Quantität „drei“ auszudrücken). Die Frage ist, ob die Zahl 3 selbst existiert. Gibt es so etwas wie Zahlen? Existieren Zahlen wirklich?

Manche meinen, diese Frage sei versponnen und total irrelevant. Doch eigentlich zieht sie eine grundlegende theologische Frage nach sich, deren Bedeutung kaum überbetont werden kann. Denn wenn wir sagen, dass Zahlen existieren, woher kamen sie dann? Die christliche Theologie besagt, dass alles außerhalb von Gott Existierende von Gott geschaffen wurde (Joh 1,3). Doch Zahlen werden, wenn sie denn existieren, fast immer für notwendige Wesen gehalten. Somit würden sie unabhängig von Gott existieren. Diese Ansicht wird Platonismus genannt, nach dem griechischen Philosophen Platon.

Manch einer möchte dieses Problem vielleicht umgehen, indem er einen modifizierten Platonismus übernimmt, laut dem Zahlen notwendigerweise und ewig von Gott geschaffen wurden. Doch dann steht man vor dem Problem eines Zirkelschlusses: War es explanatorisch vor Gottes Erschaffung der Zahl 3 nicht so, dass die Anzahl der Personen in der Trinität schon 3 war? Natürlich. Doch dann hat die Zahl 3 schon existiert, bevor Gott die Zahl 3 geschaffen hat, was unmöglich ist!

Ich weiß noch, wie ich die Panik in meiner Brust spürte, als ich diesen Einwand auf einer Philosophie-Konferenz in Milwaukee zum ersten Mal hörte. Er schien eine absolut schlagende Widerlegung des Theismus zu sein. Ich sah keinen Ausweg.

Der Ausweg, fand ich später heraus, besteht darin, den platonischen Standpunkt abzustreiten, dass abstrakte Objekte (wie z.B. Zahlen) existieren. Zuerst tendierte ich dazu, eine Art Konzeptualismus zu übernehmen, laut dem abstrakte Objekte Ideen im Geiste Gottes sind. Vielleicht werde ich diesen Ansatz wieder aufgreifen, doch je mehr ich das Problem studiert habe, desto mehr fühle ich mich von verschiedenen nominalistischen oder anti-realistischen Ansichten in Bezug auf abstrakte Objekte angezogen, die deren Existenz geradeheraus abstreiten, anstatt sie als begriffliche Realitäten zu reinterpretieren. Wie Sie anmerkten, scheint der Konzeptualismus eine Art Realismus zu sein, der Zahlen mit Gedanken im Geiste Gottes identifiziert. Solche Gedanken seien konkrete Einzeldinge, keine abstrakten Objekte, obwohl sie immateriell sind. Eine solche Identifizierung ist in mehrfacher Hinsicht mit Problemen behaftet, auf die ich hier aber nicht einzugehen brauche. Wenn der Konzeptualist Zahlen jedoch nicht als Gedanken auffasst, die Gott hat, dann scheint er vielmehr eine anti-realistische Ansicht wie den Fiktionalismus zu übernehmen.

Warum sollten wir also meinen, dass abstrakte Objekte wie Zahlen überhaupt existieren? So ziemlich das einzige Argument für den Platonismus ist das sogenannte Unverzichtbarkeitsargument, inspiriert vom kürzlich verstorbenen Willard Van Orman Quine. Quine sah sich gezwungen, mathematische Objekte, vor allem Mengen, in seiner Ontologie (jemandes Auffassung darüber, was existiert) zuzulassen, weil er dachte, dass die Wahrheit unserer besten wissenschaftlichen Theorien uns zu deren Realität verpflichtete. Quines Argument basierte auf mehreren charakteristischen Thesen:

1. Die Naturwissenschaft ist der einzige Vermittler der Wahrheit und Wegweiser zur Realität. (Naturalismus)

2. Kanonisch formulierte Aussagen, die mathematische Entitäten quantifizieren, sind für unsere besten naturwissenschaftlichen Theorien unverzichtbar. (Unverzichtbarkeitsthese)

3. Wir sind dem Wert jeder Variable ontologisch verpflichtet, die vom Existenzquantor in einer Symbolisierung einer wahren kanonisch formulierten Aussage in der Prädikatenlogik erster Stufe gebunden ist. (Kriterium der ontologischen Verpflichtung)

4. Die Bestätigung der Wahrheit unserer besten naturwissenschaftlichen Theorien fällt jeder unverzichtbaren Aussage dieser Theorien zu. (Holismus der Bestätigung)

Der Naturalismus stelle sicher, dass es keine metaphysischen oder anderweitig außerwissenschaftlichen Gründe dafür gibt, die Existenz mathematischer Objekte abzulehnen. Was die Wissenschaft als real erfordert, ist auch real. Punkt. Die Unverzichtbarkeitsthese ist das Herzstück jeder Version des Arguments. Sie behauptet, dass die Quantifizierung mathematischer Entitäten in unseren besten wissenschaftlichen Theorien nicht durch sprachliche Umformulierung umgangen werden kann. Quine erkennt an, dass Aussagen in der gewöhnlichen Sprache, wenn sie für bare Münze genommen werden, eine Quantifizierung von Pseudo-Objekten mit sich bringen würden; deswegen auch der Bedarf einer kanonischen Formulierung der Aussagen einer wissenschaftlichen Theorie, die sicherstellt, dass ihre ontologischen Verpflichtungen nicht reduzierbar sind. Quines Kriterium der Ontologischen Verpflichtung ist kein Kriterium für Existenz an sich, sondern sagt uns, was existieren muss, damit eine kanonische Aussage wahr ist. Durch den Naturalismus seien wir nur durch die Aussagen ontologisch verpflichtet, die in unseren besten wissenschaftlichen Theorien wahr sind. Und der Holismus der Bestätigung stellt sicher, dass die unverzichtbaren mathematischen Aussagen wahrer wissenschaftlicher Theorien selbst wahr sind. Denn welcher Beleg auch immer die Wahrheit der Theorie als Ganze bestätige, bestätige jede Aussage, die sie umfasst. Da die mathematischen Aussagen einer wahren wissenschaftlichen Theorie wahr und unverzichtbar seien, würden wir ontologisch von den Theorien zu den mathematischen Objekten verpflichtet, über die quantifiziert wird. Somit erfordert die moderne Wissenschaft, dass wir an die Existenz mathematischer Objekte glauben.

Jede dieser Quine’schen Thesen ist höchst umstritten, und keine davon ist meiner Meinung nach wahr, geschweige denn alle. Im Folgenden werde ich ein paar Ergebnisse meiner aktuellen Lektüre zu diesem Thema anführen. Ich entschuldige mich schon im Voraus für die eher technische Art der Diskussion.

1. Obwohl Quines naturalisierte Epistemologie sehr einflussreich geworden ist, ist ihr Naturalismus, der selbst ja kein Ergebnis der Naturwissenschaft ist, rational nicht gerechtfertigt. Die einzige selbstbezüglich kohärente Version des Naturalismus ist, wie Michael Rea gezeigt hat (World without Design: The Ontological Consequences of Naturalism [Oxford: Clarendon Press 2002], S. 50–73), diejenige, laut der der Naturalismus eine Haltung ist, nur die Ergebnisse der Naturwissenschaften als wahr zu akzeptieren. Manche Menschen haben jedoch vielleicht eine andere Einstellung und sind daher beispielsweise bereit, auch rationale Intuition oder göttliche Offenbarung als Wegweiser zur Wahrheit zu akzeptieren. Niemand ist verpflichtet, Quines persönliche Sicht zu seiner eigenen zu machen. Jemand, der kein Naturalist ist, wagt es vielleicht, sogar die Verpflichtungen unserer besten wissenschaftlichen Theorien herauszufordern. In diesem Fall denke ich, als christlicher Philosoph, dass wir gute theologische Gründe dafür haben, den Platonismus abzulehnen, unabhängig davon, welche ontologischen Verpflichtungen unsere wissenschaftlichen Theorien haben. Zudem verkrüppelt Quines Naturalismus, platonistisch ausgelegt, ironischerweise die Mathematik, weil das Fragment der Mathematik, das die Naturwissenschaft erfordert, ein verschwindend geringer Teil des Diskursuniversums eines Mathematikers ist.

2. Die Unverzichtbarkeitsthese wurde schon aus mehreren Gründen kritisiert. Charles Chiharas Kritik war besonders verheerend (Ontology and the Vicious Circle Principle [Ithaca, N.Y.: Cornell University Press 1973], Kap. 3). Er weist darauf hin, dass Quine nicht einmal einen Hinweis dafür, was ein kanonisch formulierter Satz ist, oder ein Verfahren nennt, um einen zu erhalten, ganz zu schweigen von einer Garantie, dass die Aussagen wissenschaftlicher Theorien kanonisch formuliert werden können, sodass all die in der gewöhnlichen Sprache quantifizierten Pseudo-Objekte eliminiert werden. Ohne solch ein Verfahren ist Quines Vorschlag zu gar nichts imstande. Zudem geht Quine einfach davon aus, dass unsere besten wissenschaftlichen Theorien alle in der Prädikatenlogik erster Stufe formuliert werden können, was sehr zu bezweifeln ist. Es scheint mir wahrscheinlich zu sein, dass modale Logik, temporale Logik und kontrafaktische Logik notwendig sind, um den theoretischen Inhalt der Naturwissenschaft adäquat erfassen zu können. Da Quines Kriterium für Ontologische Verpflichtung in solchen Kontexten versagt, wird das Kriterium nicht in der Lage sein, die ontologischen Verpflichtungen dieser Theorien akkurat darzulegen.

Außerdem stellt Chiharas Konstruktibilismus die klassische Mathematik wieder her, ohne mathematische Entitäten zu quantifizieren. Das wird durch ein Umschreiben der gewöhnlichen Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre erreicht, wobei der Existenzquantor „∃“ („es gibt … “) durch den von Chihara Konstruktibilitätsquantor genannten Quantor ersetzt wird, sodass Existenzbehauptungen durch Behauptungen über Konstruierbarkeit ersetzt werden. Der  Konstruktibilitätsquantor Cx soll so verstanden werden, dass er behauptet: „Es ist möglich, ein x zu konstruieren, sodass … .“ Der Konstruktibilitätsquantor wird als primitiv aufgefasst, doch Chihara verwendet die Semantik möglicher Welten lediglich als heuristisches Mittel. Was nach Chiharas Theorie konstruierbar ist, sind bestimmte offene Satztoken, d. h. Satztoken, die freie Variablen enthalten, und Behauptungen der Mengenzugehörigkeit werden zu Behauptungen darüber umgeschrieben, dass ein Individuum einen offenen Satz erfüllt. Chihara behauptet nicht, dass seine Semantik darstellt, wie Mathematiker ihre Sprache wirklich verstehen, und auch nicht, dass sie die mathematische Standardsprache ersetzen sollte, sondern lediglich, dass sie zeigt, wie mathematische Aussagen ohne jegliche ontologische Verpflichtung zu abstrakten Objekten als wahr angesehen werden können.

Auch Geoffrey Hellmans Modaler Strukuralismus umgeht Quantifizierungen über mathematische Objekte erfolgreich (Mathematics without Numbers: Towards a Modal-Structural Interpretation [Oxford: Oxford University Press, 1989]). Der Strukturalismus zieht seine Inspiration aus der Erkenntnis, dass die einzigen mathematisch relevanten Eigenschaften von Zahlen ihre relationalen Eigenschaften sind. Die intrinsischen Eigenschaften der natürlichen Zahlen können daher zugunsten der abstrakten, ordinalen Struktur ignoriert werden, die sie instanziieren. Es ist mathematisch irrelevant, welche Art von Objekten die Positionen in solch einer ordinalen Struktur belegen. Wir brauchen Zahlen also eigentlich nicht wirklich. Um eine ontologische Verpflichtung gegenüber abstrakten Strukturen zu vermeiden, bejaht Hellman lediglich die logische Möglichkeit solcher Strukturen. Mathematische Aussagen beinhalten also keine Quantifizierung über Objekte oder Positionen in einer wirklichen ordinalen Struktur, da nur die Möglichkeit strukturell in Beziehung stehender Objekte oder Positionen in Betracht gezogen wird.

3. Quines Kriterium für Ontologische Verpflichtung ist vielleicht die anfälligste Stelle in seinem Argument. Zunächst erkennt jeder an, dass der Ausdruck „es gibt“ (für den der Existenzquantor „∃“ steht) in der gewöhnlichen Sprache nicht ontologisch verpflichtend ist. Wir sagen Dinge wie „Es gibt große Unterschiede zwischen Republikanern und Demokraten“ oder „Es gibt einen Mangel an Integrität in seinem Verhalten“, ohne zu denken, dass wir uns damit dazu verpflichten, so etwas wie Unterschiede oder Mangel in unsere Ontologie aufzunehmen! Diesen Punkt kann man gar nicht genug betonen. Existenzquantifikation in der gewöhnlichen Sprache kann nicht vernünftiger Weise so verstanden werden, dass sie uns ontologisch zu den Gegenständen verpflichten würde, über die quantifiziert wird. Quine erkennt dies natürlich an. Doch er beharrt darauf, dass wir zu allen von Existenzquantoren gebundenen Gegenständen verpflichtet sind, sobald die Sätze unserer besten wissenschaftlichen Theorien in eine kanonische Form gebracht und in Prädikatenlogik erster Stufe symbolisiert worden sind. Ich habe bereits gesagt, dass Quine nicht einmal den Ansatz eines Hinweises auf ein Verfahren nennt, um die Sätze der gewöhnlichen Sprache in kanonische Form zu bringen, und auch gar kein Argument dafür, dass sie dadurch alle unerwünschten Verpflichtungen der gewöhnlichen Sprache loswerden, geschweige denn eine Garantie, dass unsere besten wissenschaftlichen Theorien in Prädikatenlogik erster Stufe erfolgreich symbolisiert werden können.

Doch selbst wenn man Quines Verfahren erfolgreich ausführen könnte, hängt die Frage, ob wir ontologisch den Werten der vom Existenzquantor gebundenen Variablen verpflichtet sind, von unserer Interpretation von „∃“ ab. Warum sollte man meinen, dass dieser Quantor eine andere Bedeutung hat oder mehr ontologische Kraft ausübt als „es gibt“ in der gewöhnlichen Sprache?

Philosophen unterscheiden typischerweise zwischen zwei Interpretationen des Existenzquantors: der objektuellen (oder referenziellen) und dem substitutionellen. Die objektuelle Interpretation des Quantors versteht ihn so, dass er sich auf einen Bereich von Objekten erstreckt und manche dieser Objekte als Werte der von ihm gebundenen Variable heraussucht. Nach der substitutionellen Interpretation ist die Variable eine Art Platzhalter für bestimmte linguistische Ausdrücke, die sie ersetzen können, um Sätze zu bilden. Generell wird anerkannt, dass die substitutionelle Interpretation nicht ontologisch verpflichtend ist. Doch Jody Azzouni merkt an, dass selbst die objektuelle Interpretation des Quantors ontologisch nicht verpflichtend ist, bis man es so festlegt (Deflating Existential Consequence: A Case for Nominalism [Oxford: Oxford University Press, 2004], S. 54). Bei der Behauptung, dass sie ontologisch verpflichtend sein muss, übersehe man, dass die Quantoren der Metasprache, die man verwendet, um den Bereich der Quantoren der Objektsprache zu bestimmen, ähnlich mehrdeutig sind. Ob die Objekte im Bereich D der Objektsprachenquantoren tatsächlich existieren, hänge davon ab, wie man das „es gibt“ der Metasprache deute, die D einrichtet. Nicht einmal die referenzielle Verwendung des Quantors in der Objektsprache muss ontologisch verpflichtend sein, wenn die Quantoren in der Metasprache nicht ontologisch verpflichtend sind. Wenn wir bei unserer Aussage, dass es ein Element in D gibt, die gewöhnliche Sprache verwenden, dann sind wir nicht zur Realität der Objekte in D, über die wir quantifizieren, verpflichtet. (Wenn wir das wären, dann resultiert daraus das Paradoxon, dass eine Theorie uns schon durch den Objektbereich selbst ontologisch zu den Objekten darin verpflichten würde, sodass Quines Kriterium gänzlich überflüssig wird.) Es gibt keinen Grund dafür, dass man kein völlig imaginäres Reich an Objekten als seinen Objektbereich errichten kann. D ist dann nicht-leer, aber die objektuelle Quantifizierung in der Objektsprache der Domäne wird nicht ontologisch verpflichtend sein. Der Existenzquantor dient einfach dazu, logische Schlüsse zu ermöglichen.

Wie dem auch sein mag – warum kann der Nominalist keine substitutionelle Interpretation des Existenzquantors übernehmen, wenn er über abstrakte Objekte quantifiziert? Wenn ich (∃x) Px behaupte, wobei „P“ das Prädikat „ist eine Primzahl“ darstellt, dann kann ich sagen, dass „3“ x ersetzen kann, um den wahren Satz „3 ist eine Primzahl“ zu ergeben, ohne mich dabei selbst ontologisch der Realität von 3 zu verpflichten. Ob 3 existiert, muss von außer-logischen Argumenten entschieden werden und kann anhand eines Existenzprädikats ausgedrückt werden. Nun möchte man vielleicht einwenden, dass solch eine selektive Berufung auf substitutionelle Quantifizierung ad hoc sei. Doch wie Dale Gottlieb erklärt, kann die Verwendung derselben in dem Sonderfall der Quantifizierung abstrakter Objekte gerechtfertigt sein – angesichts der beinahe magischen ontologischen Konsequenzen, die aus der objektuellen Interpretation folgen sollen (Ontological Economy: Substitutional Quantification and Mathematics [Oxford: Oxford University Press 1980], S. 53–4). Beispielsweise folgt aus dem Satz „Auf dem Tisch gibt es drei Äpfel“ sofort, dass „die Anzahl der Äpfel auf dem Tisch 3 ist“, was uns nach Quines Kriterium ontologisch zur Existenz von 3 verpflichtet! Herauszufinden, was existiert, sollte nicht so einfach sein! Den Quantor substitutionell zu verstehen, würde verhindern, dass Ontologie nur mithilfe von Worten abgeleitet wird. Damit das Unverzichtbarkeitsargument erfolgreich ist, müsste man somit zeigen, dass der Quantor nicht substitutionell verstanden werden kann, was nach Gottliebs Urteil „fast unmöglich ist“ (Ebd., S. 50).

Eine weitere Option nennt Stephen Yablo, der vom Fiktionalismus, welcher Quines Kriterium akzeptiert, zum von ihm so bezeichneten Figuralismus übergegangen ist, um die Wahrheit der Rede über abstrakte Objekte ohne ontologische Verpflichtung erhalten zu können („Go Figure: A Path through Fictionalism,” in Figurative Language, ed. Peter A. French and Howard K. Wettstein [Oxford: Blackwell, 2001], pp. 72–102). Yablo ist beeindruckt von der Ähnlichkeit zwischen der Rede über abstrakte Objekte und der figurativen Rede wie der, die wir in der Untertreibung, Hyperbel, Metonymie und Metapher finden. Eine Aussage wie „It’s raining cats and dogs!“ („es schüttet aus allen Kübeln“) ist im wörtlichen Sinne falsch, doch es dabei bewenden zu lassen, hieße, den gesamten Sinn solcher Sprache zu verpassen. Wenn ein Redner bildliche Sprache verwendet, ist der buchstäbliche Inhalt nicht das, was der Redner aussagt. Es gibt, wie Yablo sagt, einen „echten Inhalt“ für bildliche Sprache, der gut und gerne wahr sein kann. Das heißt nicht, dass figurative Aussagen immer erfolgreich in Ausdrücke mit ihrem echten Inhalt paraphrasiert werden können. Zahlen können als Darstellungshilfen für den Ausdruck des echten Inhalts mathematischer Sprache unverzichtbar sein. Der echte Inhalt mathematischer Aussagen sind logische Wahrheiten, weshalb Mathematik notwendig und a priori zu sein scheint.

Yablo weitet seine Analyse auch auf weitere Arten der Rede von abstrakten Objekten aus. Zum Beispiel:

Der Warheitswert von: Argument A ist gültig Es ist möglich, dass B Es gibt so viele Cs wie Ds Es gibt mehr als fünf "E"s Er hat es F-haft gemacht Es gibt Gs, die ____ Sie ist H

soll abhängen von: der Existenz von Kontramodellen der Existenz von Welten der Existenz von 1-1-Funktionen der Anzahl von "E"s dem Ereignis, dass sein Tun F ist der Tatsache, dass es eine Menge von Gs gibt, die ___ ihrer Beziehung zur Eigenschaft H-heit

Die Entitäten auf der rechten Seite sind nicht das, worum es in den Ausdrücken auf der linken Seite wirklich geht. Wir glauben, vielleicht ganz unbewusst, dass die Entitäten auf der rechten Seite existieren, doch es sind bloß Redewendungen, die den wirklichen Inhalt transportieren. Figuratives Reden kann wahr sein – hierin liegt der Unterschied zwischen Figuralismus und Fiktionalismus – aber die Repräsentationshilfen, die es anwendet, sind nicht ontologisch verpflichtend. Im Lichte dieses alternativen Verständnisses des Existenzquantors erscheint Quines Kriterium der Ontologischen Verpflichtung nicht nur unberechtigt, sondern sogar irreführend und unplausibel.

4. Quines radikaler Holismus der Bestätigung ist eine völlig unplausible Lehre. Elliott Sober, ein anhaltender Kritiker dieser Quine’schen These, stimmt darin überein, dass wissenschaftliche Hypothesen nie isoliert geprüft werden, sondern in Verbindung mit bestimmten Hilfsannahmen (“Quine’s Two Dogmas”, Proceedings of the Aristotelian Society, Suppl. Bd. 74 [2000]: 237–280). Doch Wissenschaftler prüfen in der Regel eine Hypothese gegen eine konkurrierende Hypothese, die dieselbe Menge an Hilfsannahmen teilt. Eine Beobachtung B favorisiert  die Hypothese H1 gegenüber H2, unter der Annahme A, nur wenn für die Wahrscheinlichkeiten P (B | H1 & A) > P (B | H2 & A) erfüllt ist. In einem solchen Fall wird A nicht geprüft und wird somit nicht von B bestätigt. Mathematik und Logik gehören zu den Hintergrundannahmen, die allen Theorien gemeinsam sind, und werden somit nicht von empirischer Evidenz für die Theorie bestätigt. Sober behauptet, dass der Quine’sche Holist sträflicherweise die Meinung vertritt, dass B S bestätigt, weil B H bestätigt und H S impliziert – eine fehlerhafte Schlussfolgerung.

Ein weiterer Hinweis darauf, dass die Mathematik nicht von der Evidenz für eine wissenschaftliche Theorie bestätigt wird, ist die Tatsache, dass sie nie von Evidenz gegen eine Theorie entkräftet wird. Doch die Bestätigungstheorie erfordert, dass nicht-B H entkräftet, wenn B H bestätigt. Eine noch bizarrere Folge von Quines radikalem Holismus ist, dass, wenn ich z. B. der Speziellen Relativitätstheorie glaube, eine Bestätigung der Relativität alles, was ich glaube, bestätigt, ganz egal, wie wenig es mit der Relativitätstheorie zu tun hat. Daraus entsteht sofort Relativismus, denn wenn ich X und Y glaube und Sie X und nicht-Y, dann bestätigt die Bestätigung von X für mich Y und für Sie nicht-Y!

Quine selbst distanzierte sich später von diesem radikalen Holismus und nahm die Position ein, dass nur „ziemlich große“ Mengen von Überzeugungen Bestätigungen unterworfen sind, nicht jemandes ganzes Überzeugungssystem. Doch dieser moderatere Holismus ist immer noch von Sobers Kritik betroffen und ist in jedem Fall zu schwach, um die Rolle auszufüllen, die der Holismus der Bestätigung im Unverzichtbarkeitsargument für mathematische Objekte gespielt hat. Ohne die holistische These wird die Wahrheit der reinen mathematischen Aussagen in einer bestätigten Theorie damit nicht bestätigt.

Das öffnet die Tür für den Fiktionalismus, der behauptet, dass der nominalistische Inhalt einer wissenschaftlichen Theorie zwar wahr sein kann, der reine mathematische Inhalt, wortwörtlich genommen, aber als nützliche Fiktion falsch ist. Fiktionalisten haben auf zweierlei Weise auf das Unverzichtbarkeitsargument reagiert. Ein Weg, den Hartry Field (Science without Numbers [Princeton: Princeton University Press, 1980]) eingeschlagen hat, ist, die Unverzichtbarkeitsthese, nach der die Mathematik für die Wissenschaft unverzichtbar ist, herauszufordern und eine nominalisierte Version einer wissenschaftlichen Theorie anzuführen, in der nicht auf mathematische Objekte Bezug genommen wird. Der zweite Weg, welchen Mark Balaguer (Platonism and Anti-Platonism in Mathematics [New York: Oxford University Press, 1998]) genommen hat, ist, die Unverzichtbarkeitsthese zu akzeptieren, aber zu behaupten, dass die Mathematik, wie unverzichtbar sie auch für die wissenschaftliche Praxis sein mag, nichts Inhaltliches zu unserer Kenntnis von der Welt beiträgt, und dass ihre Anwendbarkeit vom Platonismus nicht besser erklärt wird. Beide stimmen darin überein, dass der platonistische Inhalt empirischer Wissenschaft fiktiv und daher falsch ist.

Sätze wie „2 + 2 = 4“ sind wie Aussagen über fiktive Charaktere wie „Der Weihnachtsmann wohnt am Nordpol.“ Solche Sätze entsprechen nicht der Realität, weil sie leere Begriffe enthalten. Da sie somit nicht der Realität entsprechen, sind sie im wörtlichen Sinne falsch. Da es eine Person wie den Weihnachtsmann nicht gibt, kann er nicht buchstäblich am Nordpol wohnen. Da es so etwas wie Zwei und Vier nicht gibt, ist es nicht buchstäblich wahr, dass Vier die Summe von zwei Zweien ist. Es ist allerdings schon wahr, dass der Weihnachtsmann laut der gängigen Erzählung vom Weihnachtsmann am Nordpol wohnt; er wohnt laut dieser Geschichte nicht in Berlin. Genauso ist es wahr, zu sagen, dass 2 + 2 laut der Standardvorgehensweise der Mathematik 4 ergibt. Das rettet den Fiktionalisten vor der Peinlichkeit, einfach zu sagen, dass 2 + 2 = 4 falsch ist, denn er stimmt zu, dass solch eine Aussage im Standardmodell der Arithmetik wahr ist. Doch er bestreitet, dass dieses Modell einer unabhängigen Realität entspricht. Es ist ein Fehler, zu glauben, dass uns die mathematische Praxis zu der buchstäblichen Wahrheit mathematischer Theorien verpflichtet, denn die ontologische Frage über die Realität mathematischer Objekte ist eine philosophische Frage, die die Mathematik selbst nicht anspricht. Unsere Praxis verpflichtet uns höchstens zu der Behauptung, dass bestimmte Aussagen laut dem Standardverfahren im relevanten Gebiet wahr sind.

Kendall Walton, dessen faszinierende Arbeit über das Wesen von Fiktion außerhalb der literarischen und künstlerischen Bereiche Anwendung findet, spricht von „fiktiven Wahrheiten“, welche als wahr angenommene Aussagen innerhalb eines Rollenspiels[1] sind (Mimesis as Make–Believe [Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1990]). Fiktive Wahrheiten werden von einer Anweisung oder einem Auftrag generiert, sich vorzustellen, dass etwas der Fall sei. Die Übereinstimmungen der Teilnehmer darin, was man sich vorstellen soll, dienen als Regeln, die bestimmte Vorstellungen vorschreiben. Diese Regeln generieren Prinzipien einer fiktiven Welt, in der man sich vorstellt, dass bestimmte Propositionen wahr sind. Walton betont, dass ein solches Verständnis der Regeln vielleicht gar nicht bewusst oder explizit ist. „Es sitzt vielleicht so fest, dass wir es kaum bemerken; es ist vielleicht so natürlich, dass es schwerfällt, sich vorzustellen, man habe es nicht“ (Ebd., S. 41). Man nimmt also vielleicht an einem solchen Rollenspiel teil, ohne sich dessen bewusst zu sein.

Es fällt schwer, sich eine angemessenere und plausiblere nicht-literarische Anwendung von Waltons Theorie vorzustellen als die axiomatisierte unendliche Mengenlehre. Man stellte schnell fest, dass das von Cantor verwendete intuitive Mengenkonzept die Paradoxa naiver unendlicher Mengenlehre erzeugt und somit nicht haltbar ist. Anstatt ein neues Verständnis von „Menge“ zu übernehmen, haben sich Mengentheoretiker einfach entschlossen, die Paradoxa zu umgehen, indem sie den Gedanken der Menge undefiniert ließen, aber mehrere Axiome darlegten, die das Verhalten von Mengen bestimmen, sodass das Aufkommen der Paradoxa verhindert wird. Diese Axiome haben wenig Anspruch auf intuitive Wahrheit, da wir gar nicht wissen, wovon sie handeln. Die Axiome der Mengenlehre scheinen vielmehr so zu sein, dass wir sie uns als wahr vorstellen sollen. Diese Axiome dienen dann als erzeugende Prinzipien für das Universum der Mengen. Innerhalb dieses Rollenspiels entpuppen sich ziemlich erstaunliche und wundersame Theoreme als fiktiv wahr. Es ist beispielsweise fiktiv wahr, dass die Menge natürlicher Zahlen und die Menge gerader Zahlen die gleiche Elementanzahl haben, obwohl zu den natürlichen Zahlen alle geraden und eine gleich hohe und unendliche Anzahl von ungeraden Zahlen gehört. Zudem ist das in der unendlichen Mengenlehre beschriebene Universum, wie fiktive Welten auch, in drastischer Weise unvollständig. So wie es weder fiktiv wahr noch fiktiv falsch ist, dass z. B. Hamlet Schuhgröße 43 hat, so ist auch die Kontinuumshypothese (KH), die Hypothese, dass die Mächtigkeit des Kontinuums ℵ1, die nächsthöhere transfinite Kardinalzahl nach ℵ0, ist, weder fiktiv wahr noch fiktiv falsch, da sie nachweislich unabhängig von den Axiomen der Standard-Mengenlehre ist. Die Behauptung des Realisten, dass die KH entweder wahr oder falsch sein muss, ähnelt dem Bestehen darauf, dass Hamlet eine Schuhgröße haben muss, entweder 43 oder nicht. Der Mengentheoretiker ist frei, wenn er möchte, KH oder ¬KH zu seinen Axiomen hinzuzufügen, um sozusagen eine überarbeitete Version der Geschichte zu veröffentlichen, und dann wird eine ganz neue Menge fiktiver Wahrheiten erzeugt. Und dabei – wie Walton beobachtet – nimmt man – ob bewusst oder unbewusst – an einem Rollenspiel teil.

Quines Holismus der Bestätigung ist somit ziemlich unplausibel, und seine Ablehnung öffnet einem fiktionalistischen Lesen der Aussagen reiner, in der Wissenschaft angewandter Mathematik die Tür.

In der Summe hinterlässt die Fülle an nominalistischen Entwertern[2] des Unverzichtbarkeitsarguments das Problem des ontologischen Status abstrakter Objekte wie Zahlen zumindest als offene Frage und verschiedene Nominalismen (ganz zu schweigen vom Konzeptualismus) als vertretbare Alternativen zum Platonismus. Daher freut es mich, zu sagen, dass aus diesem Bereich kein erfolgreicher Einwand auf den klassischen Theismus entsteht.
 

(Übers.: J. Booker; Lektorat: J. Kosiol)

Link to the original article in English: http://www.reasonablefaith.org/current-work-on-god-and-abstract-objects