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Gott und die „ungeheure Effektivität der Mathematik“

Summary

Weder der Realismus noch der Anti-Realismus bezüglich mathematischer Objekte leisten einen nennenswerten Beitrag zur Beantwortung der Frage, warum die Mathematik überhaupt so gut auf die physikalische Welt anwendbar ist. Der Theismus liefert hier die beste Antwort.

Quelle: „God and the 'Unreasonable Effectiveness of Mathematics'” („Gott und die ungeheure Effektivität der Mathematik‘“) Christian Research Journal 36 (2013): 31-35.

Das Problem der Anwendbarkeit der Mathematik auf die physische Welt

Philosophen der Mathematik sind geteilter Meinung darüber, ob mathematische Objekte wie Zahlen, Mengen, Funktionen und so weiter wirklich in der Realität existieren oder nicht. Realisten betrachten solche Objekte als abstrakte Entitäten, welche denkunabhängig, außerhalb von Raum und Zeit und kausal wirkungslos sind. Anti-Realisten hingegen sind sich darin einig, dass solche Objekte nicht wirklich existieren.

Eines der zentralen Probleme, mit denen sowohl Realisten als auch Anti-Realisten konfrontiert sind, betrifft das, was nach dem Physiker Eugene Wigner als „die unglaubliche Effektivität der Mathematik“ berühmt geworden ist [1] . Wie kann es z.B. sein, dass ein mathematischer Theoretiker wie Peter Higgs über mathematische Gleichungen brütend an seinem Schreibtisch sitzt und dabei die Existenz eines fundamentalen Partikels voraussagt, das 30 Jahre später mit großen finanziellen und intellektuellen Anstrengungen tatsächlich experimentell nachgewiesen werden konnte? Mathematik ist die Sprache der Natur. Aber was ist hierfür die Erklärung?

Theisten haben es beträchtlich leichter als Naturalisten, diese Frage zu beantworten. Ihnen zufolge existiert ein personales, transzendentes Wesen (nämlich Gott), welches das Universum entworfen und geschaffen hat. Naturalisten hingegen vertreten die Ansicht, dass das Raum-Zeit-Gefüge und sein physikalischer Inhalt alles ist, was konkret existiert. Egal, ob man nun ein Realist oder Anti-Realist bezüglich mathematischer Objekte ist, es scheint, dass der Theist einen entscheidenden Vorteil gegenüber einem Naturalisten hat, wenn es darum geht, den ungeheuren Erfolg der Mathematik zu erklären.

Realismus: Nicht-theistisch und theistisch

Betrachten wir zunächst die Perspektive des Realismus, was die Anwendbarkeit der Mathematik auf die Welt angeht. Für den nicht-theistischen Realisten ist die Tatsache, dass die physikalische Welt sich im Einklang mit kausal wirkungslosen mathematischen Entitäten verhält, die außerhalb von Raum und Zeit existieren, in den Worten der Philosophin der Mathematik Mary Leng „ein glücklicher Zufall“ [2]. Machen wir ein Gedankenexperiment: Wenn (was unmöglich wäre) alle abstrakten Objekte der Mathematik über Nacht verschwinden würden, hätte dies keinerlei Auswirkungen auf die physikalische Welt. Dies ist einfach nur Ausdruck der Tatsache, dass solche Objekte kausal wirkungslos sind. Die Idee, dass der Realismus irgendwie eine Erklärung für die Anwendbarkeit der Mathematik liefert, „ist tatsächlich sehr kontraintuitiv,“ wie es der Philosoph der Mathematik Mark Balaguer ausdrückt. „Die Idee ist hier folgende: Um zu glauben, dass die physikalische Welt so ist, wie es die empirische Wissenschaft sagt, müsste man glauben, dass es kausal wirkungslose mathematische Objekte gibt, die außerhalb von Raum und Zeit existieren“, eine Idee, die in sich unplausibel ist. [3]

Im Gegensatz dazu kann der Realist, der gleichzeitig Theist ist, sagen, dass Gott die Welt entsprechend der Struktur mathematischer Objekte gestaltet hat. Das ist im Wesentlichen die Sicht, die Platon in seinem Dialog Timaios verteidigt hat. Platon machte eine grundlegende Unterscheidung zwischen dem Reich der zeitlos existierenden Dinge (das stets Seiende) und dem Reich des zeitlichen Werdens (das stets Veränderliche). Das erstgenannte ist durch den Intellekt erfassbar, das zweite durch die Sinneswahrnehmung. Das Reich des Veränderlichen beinhaltet in erster Linie die physikalischen Dinge, während das statische Reich des Seienden logische und mathematische Objekte umfasst. Gott betrachtet das Reich mathematischer Objekte und formt die Welt entsprechend. Die mathematische Struktur der Welt ist ein Resultat davon. Platon schreibt:

"Es kommt also nach meinem Dafürhalten zunächst auf eine Unterscheidung folgender Vorstellungen an: Was ist das immer Seiende, welches kein Werden zulässt, und was ist das immer Werdende, welches niemals des Seins teilhaftig wird? Das Eine ist durch vernünftiges Denken vermittelst des Verstandes erfassbar, denn es bleibt immerdar sich selbst gleich, das andere ist nur von der (schwankenden) Meinung eben in dieser unvollkommenen Form erfassbar vermittelst der Sinneswahrnehmung ohne Beteiligung des Verstandes, denn es ist in beständigem Werden und Vergehen begriffen, ohne je zum Sein zu gelangen.

[…] Jedes Ding nun, dessen Form und Wirkungsart der Bildner (Demiurg) herstellt im beständigen Hinblick auf das sich immerdar Gleichbleibende, das ihm dabei zum Muster dient, muss auf diese Weise unbedingt in jeder Hinsicht auf das Beste gelingen. Blickt er dabei aber auf das Gewordene hin und nimmt er sich dieses zum Muster, dann fällt das Werk nicht gut aus.

[...]Wenn nun dies Weltall schön und wohlgeraten, und der es bildete ein guter Werkmeister ist, so ist es offenbar, dass er nach dem Ewigen blickte; im anderen Falle aber, den auch nur in den Mund zu nehmen eine Lästerung wäre, nach dem Gewordenen. Nun ist es doch für jedermann klar, dass er nach dem Ewigen blickte; denn die Welt ist das Schönste von allem Gewordenen, und was die Ursache anbelangt, so hält nichts den Vergleich mit dem Meister (als Urheber) aus. Steht es aber mit ihrer Entstehung so, dann ist sie nach dem Muster des dem Verstande und der Einsicht Erfassbaren und sich immer Gleichbleibenden geschaffen. Dies zugegeben ist die Welt notwendig ein Abbild von etwas.

Denn Gottes Wille war es, die Welt dem Schönsten und in jeder Beziehung Vollkommenen unter allem was die Vernunft sich denken kann so ähnlich wie möglich zu machen und so bildete er sie als ein einziges sichtbares lebendes Wesen, das alle ihm von Natur verwandten Geschöpfe in sich schließt." [4]

Folglich hat der Realist, der auch Theist ist, einen beträchtlichen Vorteil gegenüber dem naturalistischen Realisten, wenn es darum geht zu erklären, warum die Mathematik so hervorragend die physikalische Welt beschreibt. Der Haupteinwand gegen diese Sicht ist ein theologischer: Das Reich mathematischer Objekte würde unabhängig von Gott existieren, Gott wäre nicht die einzige ewig existierende Realität. Es gibt nach wie vor zeitgenössische christliche Realisten, die Gottes Schöpfung auf Platons Reich des sichtbaren Werdens begrenzen, und somit das intelligible Reich als ungeschaffen betrachten. [5]

Anti-Realismus: Nicht-theistisch und theistisch

Betrachten wir jetzt den nicht-theistischen Anti-Realismus: Leng sagt, dass im Rahmen des Anti-Realismus Beziehungen, von denen man sagt, dass sie zwischen mathematischen Objekten gelten, einfach nur die Verhältnisse unter den Dingen in der Welt widerspiegeln. Daher gäbe es hier keinen Grund, von einem glücklichen Zufall zu sprechen.

Der Philosoph der Physik Tim Maudlin sagt, „Die tiefe Frage, warum ein gegebenes mathematisches Objekt ein wirksames Werkzeug sein sollte, um eine physikalische Struktur zu repräsentieren, erlaubt wenigstens eine klare Antwort: Weil die physikalische Welt im wörtlichen Sinne die mathematische Struktur hat; die physikalische Welt ist, in einem bestimmten Sinne, ein mathematisches Objekt." [6] Schön und gut, aber was im Rahmen des anti-realistischen Naturalismus fehlt, ist eine Antwort auf die Frage, warum die physikalische Welt überhaupt eine dermaßen komplexe und verblüffende mathematische Struktur aufweist. Vielleicht musste das Universum irgendeine mathematische Struktur haben – jedoch, warum könnte die Welt nicht auch ein strukturloses Chaos sein? – diese Struktur hätte nach wie vor durch die grundlegende Arithmetik beschreibbar sein können. Zum Beispiel, dass ein Ding und ein anderes Ding zwei Dinge sind. Jedoch zeigt die moderne Physik die physikalische Welt als atemberaubend mathematisch komplex. Als zum Beispiel Albert Einstein sich abmühte, um seine allgemeine Relativitätstheorie zu formulieren, musste er zuerst einen Mathematiker aufsuchen, um sich in Tensorrechnung schulen zu lassen, bevor er in der Ausarbeitung einer angemessenen Theorie der Gravitation fortschreiten konnte. Balaguer räumt ein, dass er keine Erklärung hat, warum im Rahmen des Anti-Realismus Mathematik auf die physikalische Welt anwendbar ist oder warum sie unverzichtbar für die empirischen Wissenschaften ist. Er stellte nur fest, dass auch der Realist solche Warum-Fragen nicht beantworten kann.

Im Gegensatz dazu hat der theistische Anti-Realist eine Antwort parat, warum die Mathematik auf die physikalische Welt anwendbar ist: Gott hat diese Welt im Einklang mit einem bestimmten Entwurf geschaffen, den Er in seinen Gedanken hatte. Es gibt eine ganze Anzahl an Entwürfen, die Er hätte wählen können. Die amerikanische Logikerin und Wissenschaftsphilosophin Penelope Maddy, die sich schwerpunktmäßig mit Mathematik beschäftigt, äußerte folgende Beobachtung:

"Die zeitgenössische reine Mathematik funktioniert im Hinblick auf ihre Anwendbarkeit so, dass sie dem empirischen Wissenschaftler eine große Bandbreite möglicher theoretischer Werkzeuge zur Verfügung stellt; der Wissenschaftler nutzt diese als Modelle – für Flugbahnen von Kanonenkugeln, für elektromagnetische Felder oder für die gekrümmte Raumzeit – für welche er annimmt, dass sie den physikalischen Phänomenen in einigen Hinsichten ungefähr ähneln, während sie in anderen abweichen[…] Der angewandte Mathematiker arbeitet daran, die Idealisierungen, Vereinfachungen und Näherungen zu verstehen, die in diesen Anwendungen seiner abstrakten Strukturen involviert sind; er bemüht sich so gut wie möglich zu zeigen, wie und warum ein gegebenes Modell der Welt für die vorgegebenen Zwecke gut genug ähnelt. In all diesem behauptet der Wissenschaftler nie, dass das abstrakte Modell die Wirklichkeit darstelle; er vertritt lediglich die Auffassung, dass die Welt dem Modell in einigen Hinsichten ähnelt, in anderen jedoch nicht. Hierfür muss das Modell nur gut beschreibend sein, so wie man eine bestimmte soziale Situation durch einen Vergleich mit einer imaginären oder mythologischen Situation illustrieren könnte und dabei die Ähnlichkeiten und Unterschiede hervorhebt." [7]

Im Rahmen eines theistischen Anti-Realismus besitzt die Welt deshalb ihre mathematische Struktur, weil Gott die Wahl getroffen hat, sie entsprechend dem abstrakten Modell zu erschaffen, das er in seinen Gedanken hatte. Das war im ersten Jahrhundert die Sichtweise des jüdischen Philosophen Philo von Alexandrien, der in seiner Abhandlung Über die Erschaffung der Welt vertreten hatte, dass Gott die physikalische Welt geschaffen hat entsprechend dem Modell, das er in seinen Gedanken hatte. Für einen jüdischen Monotheisten wie Philo existiert das Reich der Ideen nicht so, wie es sich Platon dachte, nämlich unabhängig von Gott; vielmehr existiert es als Bestandteil von Gottes Gedankenwelt. Philo bezeichnete diese Gedankenwelt Gottes als Gottes Logos (Wort). Die sinnlich erfahrbare Welt (Kosmos) ist gemäß dem Modell der begrifflichen oder intelligiblen Welt erschaffen worden, welche im Logos präexistent war. Philo erläutert:

"Gott hat, weil er Gott ist, im Voraus erkannt, dass eine gute Kopie nicht ohne ein gutes Modell entstehen kann, und dass kein Objekt, welches mit den Sinnen wahrgenommen werden kann, fehlerlos sein würde, wenn es nicht nach der urbildlichen und intelligiblen Idee geformt sein würde. Als er entschieden hatte, den sichtbaren Kosmos zu erschaffen, entwarf er zuerst den intelligiblen Kosmos, damit er ihn als nichtkörperliche und am meisten gottähnliche Vorlage nutzen konnte. Auf diese Weise brachte er den körperlichen Kosmos hervor, ein jüngeres Abbild eines älteren Modells; ersterer sollte so viele sinnlich wahrnehmbare Arten von Dingen enthalten wie letzteres intelligible Arten enthält.

Zu sagen oder anzunehmen, dass der Kosmos, der aus den Ideen besteht, an irgendeinem Ort existiert, ist nicht zulässig. Wie dieser aufgebaut ist, verstehen wir, wenn wir gründlich eine Analogie betrachten, die aus unserer eigenen Welt stammt: Wenn eine Stadt in Übereinstimmung mit den hohen Zielen eines Königs oder Herrschers, welcher die höchste Macht beansprucht, gegründet wird und dieser weitere Verschönerungen hinzufügt, weil er auch eine herrliche Stadt zu seinem Glück im Sinn hat, dann kann durchaus sein, dass sich ein erfahrener Architekt meldet. Nachdem dieser die Vorzüge des Klimas und der Lage der Stadt zur Kenntnis genommen hat, entwirft er zuerst einen Plan in seinem Geist von praktisch allen Teilen des Stadt, die gebaut werden soll: Tempel, Sportstädten, öffentliche Amtsgebäude, Marktplätze, Häfen und Schiffswerften, Straßen, Mauern und weitere private und öffentliche Gebäude.

Nachdem er sich dann die Pläne für jedes Objekt in seiner eigenen Seele gleichsam wie Abdrücke in Wachs eingeprägt hat, trägt er die Stadt in seinen Gedanken als ein Bild mit sich herum. Indem er dann die Bilder mittels seiner angeborenen Gedächtnisleistung abruft und sich ihre Merkmale noch deutlicher vergegenwärtigt, beginnt er, wie ein guter Baumeister, die Stadt aus Steinen und Holz zu bauen, während er beständig auf das Modell schaut und sicherstellt, dass jedes einzelne der körperlichen Gegenstände den nichtkörperlichen Ideen entspricht.

Die Vorstellung, die wir diesbezüglich von Gott haben, muss dem ähnlich sein, nämlich dass er, nachdem er entschieden hat, die große kosmische Stadt zu gründen, sich zuerst eine Skizze macht. Dann entwirft er auf dieser Grundlage den intelligiblen Kosmos, der ihm als Modell dient, während er dann schließlich auch den sinnlich wahrnehmbaren Kosmos vollendet. Wie auch die Stadt, die im Geiste des Architekten gedanklich vorentworfen war, keinen Ort im raumzeitlichen Sinne hatte, sondern nur im Denken des Fachmanns eingeprägt war, so hatte auch der Kosmos, der zunächst nur aus Ideen bestand, keinen anderen Ort als den göttlichen Logos, der diesen Ideen ihre Form und Ordnung gibt. Welchen anderen Ort würde es im Grunde für seine Fähigkeiten geben, der geeignet wäre, auch nur eine einzige von ihnen (ich spreche nicht von allen) in ihrem reinen Zustand aufzunehmen und zu beinhalten? Wenn Sie eine Formulierung gebrauchen wollen, die auf ihren Kern reduziert ist, können Sie sagen, dass der intelligible Kosmos nichts anderes ist als der Logos Gottes, wie Er tatsächlich im Begriff ist, den Kosmos zu erschaffen. Denn die intelligible Stadt ist ebenfalls nichts anderes als die Gedanken des Architekten, wie er tatsächlich im Begriff ist, die Gründung der Stadt zu planen." [8]

Besonders bemerkenswert ist, dass Philo darauf besteht, dass die Welt der Ideen nirgends anders existieren kann als im göttlichen Logos. Wie auch der ideelle architektonische Plan einer Stadt nur im Geist des Architekten existiert, so existiert die Welt der Ideen ausschließlich im Geist Gottes. Da Philo glaubte, dass die Zeit erst mit der Schöpfung begonnen hat, liegt nahe, dass die Bildung des intelligiblen Reichs im göttlichen Geist zeitlos ist und logisch-explanatorisch Gottes Schöpfung der sichtbaren Welt vorgelagert ist. Diese Auffassung ist unter christlichen Theisten nach wie vor verbreitet. [9]

Fazit

Es folgt also, dass der Theist – sei er nun Realist oder Anti-Realist bezüglich mathematischer Objekte – eine gute Grundlage hat, verständlich zu machen, warum die physikalische Welt eine derartige mathematische Struktur besitzt, und folglich, warum die Mathematik diese ansonsten ungeheure Effektivität hat – eine Grundlage, über die der Naturalist nicht verfügt.

William Lane Craig

(Übers.: M. Widenmeyer)

Link to the original article in English: /god-and-the-unreasonable-effectiveness-of-mathematics

  • [1]

    “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences,” in Communications in Pure and Applied Mathematics 13/1 (New York: John Wiley & Sons, 1960).

  • [2]

    Mathematics and Reality (Oxford: Oxford University Press, 2010), p. 239.

  • [3]

    Mark Balaguer: Platonism and Anti-Platonism in Mathematics (New York: Oxford University Press, 1998), p. 136.

  • [4]

    Platon, Timaios, Hrsg. O. Apelt, Meiner, Hamburg, 2004, st.27-31.

  • [5]

    Für eine Diskussion von konkurrierenden Sichtweisen zu diesem Thema siehe Beyond the Control of God? Six Views on the Problem of God and Abstract Objects, Hrsg. von Paul Gould, New York 2014: Bloomsbury.

    Mit Hauptartikeln von Keith Yandell (“God and Propositions”), Paul M. Gould / Richard Brian Davis (“Modified Theistic Activism”, Greg Welty (“Theistic Conceptual Realism”), William Lane Craig (“Anti-Platonism”), Scott A. Shalkowski (“God with or without Abstract Objects”) und Graham Oppy (“Abstract Objects? Who Cares?”). Zu jedem Hauptartikel hat jeder der anderen Autoren eine Kurzantwort verfasst, gefolgt von einer Abschlussantwort des Autors des jew. Hauptartikels.

  • [6]

    “On the Foundations of Physics,” July 5, 2013, http://www.3ammagazine.com/3am/philosophy-of-physics/.

  • [7]

    Defending the Axioms: On the Philosophical Foundations of Set Theory (Oxford: Oxford University Press, 2011), pp. 89-90.

  • [8]

    Philo, On the Creation of the World 16-20; 24. (Übers. aus d. Engl; eine deutsche Übersetzung direkt aus dem Griechischen liegt noch nicht vor; Anm. d. Übers.).

  • [9]

    Siehe: Beyond the Control of God? Six Views on the Problem of God and Abstract Objects, hrsg. Paul Gould.